Рассмотрим произвольную квадратную матрицу n-го порядка:
С каждой такой матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем , соответствующим данной матрице. В дальнейшем мы будем говорить об элементах, строках и столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки и столбцы отвечающей этому определителю матрицы.
Определение: Определителем |А| матрицы первого порядка A=(а11), или определителем первого порядка, называется число равное матричному элементу а11:
Определение: Определителем |А| матрицы второго порядка A=(аij), или определителем второго порядка, называется число определяемое формулой:
Определение: Определителем |А| матрицы третьего порядка A=(аij), или определителем третьего порядка, называется число, определяемое формулой:
Определение: Определителем |А| квадратной матрицы п-го порядка A=(аij), или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (—1)N, где N — число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы в произведении, если при этом номера строк образуют возрастающую последовательность n чисел:
- при перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определителя его знак меняется на обратный;
- определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца, равен нулю;
- если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число;
- при транспонировании матрицы её определитель не меняет своего значения;
- если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному;
- если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей;
- общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.
Ссылки
